Pavel Klečka zahájil svou profesionální dráhu na konzervatoři v Kroměříži u profesora M. Gajdoše a dále pokračoval na JAMU v Brně u profesora M. Jelínka. Během svého studia se úspěšně zúčastnil mnoha soutěží; je mj. laureátem kontrabasové soutěže v Debrecenu.
Od roku 1994 je vedoucím kontrabasové skupiny PKF — Prague Philharmonia a roku 2016 se stal členem kontrabasové skupiny Orchestru Státní opery. Vedle orchestrální činnosti se věnuje také sólové hře na kontrabas, za což dostal v roce 2015 cenu Euro Pragensis Ars (cena za sólovou koncertní činnost a prezentaci kontrabasu jako sólového nástroje).
Roku 1996 začal učit na brněnské konzervatoři a od roku 2015 pokračuje v pedagogické činnosti na Konzervatoři Jana Deyla v Praze. Řada jeho absolventů našla uplatnění v předních českých orchestrech. Ve školním roce 2018 dostal ocenění za nejlepšího pedagoga školy.
